analisa real,semester 3,umsu

BAB I

PENDAHULUAN

A.    Latar Belakang

Hasil-hasil penelitian tentang pembelajaran Matematika murni menunjukkan bahwa Analisa Real merupakan mata kuliah yang sulit untuk diajarkan. Ada dua alsan mengapa Mahasiswa mengalami kesulitan dalam belajar Matematika murni. Pertama karena struktur dari konsep-konsep tidak dikenali dengan baik oleh Mahasiswa. Kedua banyak Mahasiswa yang belum nyaman dengan bukti atau pembuktian dan metode Aksiomatik. Pola pengajaran yang ada menurut Mahasiswa berpikir induktif dan deduktif yang hanya dapat dilakukan melalui aktivitas, diskusi kelas, dan latihan. Jika dianalisis lebih mendalam, bahwa hamper semua sikap positif yang terkandung dalam istilah Matematika adalah sama halnya dengan keterampilan.

B.     Rumusan Masalah

·         Menjelaskan sifat kelengkapan pada R ?

·         Penggunaan sifat aksioma supremum ?

·         Menjelaskan sifat Archimedes ?

·         Eksistensi Bilangan Real dan Densitas Bilangan Rasional di R ?

C.     Tujuan

Tujuan dalam membahas sifat kelengkapan pada R ini yaitu agar dapat menganalisis dan memahami bagaimana dan apa saja yang termasuk sifat kelengkapan pada R ini. Sehingga dapat menjawab soal-soal sesuai dengan teorema yang berlaku

BAB II 

PEMBAHASAN

2.4 Sifat kelengkapan pada bilangan ℝeal

Pada bagian ini akan diberikan salah satu sifat dari ℝ yang sering disebut dengan Sifat Lengkap (Completeness Property). Tetapi sebelumnya, perlu dijelaskan terlebih dahulu konsep supremum dan infimum.

a)      Supremum dan Infimum

Berikut ini diperkenalkan konsep tentang batas atas dan batas bawah dari suatu himpunan bilangan real.

Definisi 2.4.1. Diberikan subset tak kosong S Ì ℝ .

a)      Himpunan S dikatakan terbatas ke atas (bounded above) jika terdapat suatu bilangan uÎℝ sedemikian hingga s £ u untuk semua sÎS . Setiap bilangan u seperti ini disebut dengan batas atas (upper bound) dari S.

b)      Himpunan S dikatakan terbatas ke bawah (bounded below) jika terdapat suatu bilangan wÎℝ sedemikian hingga w £ s untuk semua sÎS . Setiap bilangan w seperti ini disebut dengan batas bawah (lower bound) dari S.

c)      Suatu himpunan dikatakan terbatas (bounded) jika terbatas ke atas dan terbatas ke bawah. Jika tidak, maka dikatakan tidak terbatas (unbounded).

Sebagai contoh, himpunan S := {xÎℝ: x < 2} ini terbatas ke atas, sebab bilangan 2 dan sebarang bilangan lebih dari 2 merupakan batas atas dari S. Himpunanini tidak mempunyai batas bawah, jadi himpunan ini tidak terbatas ke bawah. Jadi, S merupakan himpunan yang tidak terbatas.

Definisi 2.4.2. Diberikan S subset tak kosong ℝ .

a.       Jika S terbatas ke atas, maka suatu bilangan u disebut supremum (batas atas terkecil) dari S jika memenuhi kondisi berikut:

·         u merupakan batas atas S, dan

·         jika v adalah sebarang batas atas S, maka u £ v . Ditulis u = sup S .

b.      Jika S terbatas ke bawah, maka suatu bilangan u disebut infimum (batas bawah terbesar) dari S jika memenuhi kondisi berikut: w merupakan batas bawah S, dan jika t adalah sebarang batas bawah S, maka t £ w. Ditulis w = inf S

Mudah untuk dilihat bahwa jika diberikan suatu himpunan S subset dari ℝ , maka hanya terdapat satu supremum, atau supremumnya tunggal. Juga dapat ditunjukkan bahwa jika u ' adalah sebarang batas atas dari suatu himpunan tak kosong S, maka sup S £ u ' , sebab sup S merupakan batas atas terkecil dari S. Suatu subset tak kosong S Ì ℝ mempunyai empat kemungkinan, yaitu

(i) mempunyai supremum dan infimum,

(ii) hanya mempunyai supremum,

(iii) hanya mempunyai infimum,

(iv) tidak mempunyai infimum dan supremum.

bilangan real aÎℝ merupakan batas atas dan sekaligus juga merupakan batas bawah himpunan kosong Æ. Jadi, himpunan Æ tidak mempunyai supremum dan infimum.

2.4.3 Lemma  Suatu bilangan u merupakan supremum dari subset tak kosong S Ì ℝ jika dan hanya jika u memenuhi kondisi berikut:

(1) s £ u untuk semua sÎS ,

(2) jika v < u , maka terdapat s 'ÎS sedemikian hingga x < s ' .

Lemma 2.4.4. Diberikan subset tak kosong S Ì ℝ ,

(a) u = sup S jika dan hanya jika untuk setiap e > 0 terdapat  s₁ ÎS sedemikian hingga u-e < s₁.

(b) w = inf S jika dan hanya jika untuk setiap e > 0 terdapat s₂ ÎS sedemikian hingga u - e < s₂

Buskti.

(a) ÞDiketahui u = sup S dan diberikan e > 0 . Karena u - e < u , maka u - e bukan merupakan batas atas S. Oleh karena itu, terdapat s₁ ÎS yang lebih besar dari u - e , sehingga  u₁- e < s₁ .

Ü Diketahui u - e < s₁ . Jika u merupakan batas atas S, dan jika memenuhi v < u , maka diambil e := u - v . Maka jelas e > 0 , dan diperoleh bahwa u = sup S

(c) Jika suatu himpunan tak kosong S₁ mempunyai elemen sebanyak berhingga, maka dapat dilihat bahwa S₁ mempunyai elemen terbesar, namakan u, dan elemen terkecil, namakan w. Maka u = sup S1 dan  w = inf S₁ , dan keduanya merupakan elemen S₁ .

(d) Himpunan S₂ :={ x : 0 £ x £1} mempunyai batas atas 1. Akan dibuktikan bahwa 1 merupakan supremumnya. Jika v <1, maka terdapat s 'ÎS₂ sedemikian hingga v < s ' . Oleh karena itu, v bukan merupakan batas atas  S₂ dan karena v merupakan sebarang v <1, maka dapat disimpulkan bahwa sup S₂ = 1. Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan bahwa  inf S₂ = 0 .

Sifat Lengkap ℝ

Akan ditunjukkan bahwa subset tak kosong ℝ yang terbatas ke atas pasti mempunyai batas atas terkecil. Sifat seperti ini disebut Sifat Lengkap ℝ . Sifat Lengkap juga sering disebut dengan Aksioma Supremum ℝ .

Jika subset tak kosong S Ì ℝ terbatas ke atas, maka supremumnya ada, yaitu terdapat uÎℝ sedemikian hingga u = sup S .

Teorema 2.4.5 Jika subset tak kosong S Ì ℝ terbatas ke bawah, maka infimumnya ada, yaitu terdapat wÎℝ sedemikian hingga w = inf S .

Bukti. Misalkan himpunan T terbatas ke bawah, T Ì ℝ. Dibentuk himpunan S = {-t : t ÎT} , maka S terbatas ke atas dan tidak kosong. Menurut Aksioma Supremum, sup S ada, namakan u = sup S , maka -u = inf T .

Penggunaan Sifat Aksioma Supremum

Pada subbab ini dibahas beberapa akibat dari aksioma supremum.

Teorema 2.4.6.

a)      Diberikan subset tak kosong S Ì ℝ yang terbatas ke atas dan sebarang aÎℝ . Didefinisikan himpunan a + S := {a + s : sÎS} ,maka berlaku sup(a + S) = a + sup(S) .

Bukti. Jika diberikan u := sup S , maka x £ u untuk semua xÎS , sehingga a + x £ a + u . Oleh karena itu, a + u merupakan batas atas dari himpunan a + S .

Akibatnya sup(a + S ) £ a + u . Selanjutnya, misalkan v adalah sebarang batas atas a + S , maka a + x £ v untuk semua xÎS . Akibatnya x  £ v - a untuk semua xÎS , sehingga v - a merupakan batas atas S. Oleh karena itu, u = sup S £ v - a .

 Karena v adalah sebarang batas atas a + S , maka dengan mengganti v dengan u = sup S , diperoleh a + u £ sup(a + S ). Di lain pihak diketahui sup(a + S ) £ a + u .

Akibatnya terbukti bahwa sup(a + S ) = a + u = a + sup S .

b)      Diberikan subset tak kosong S Ì ℝ yang terbatas dan sebarang bilangan real a > 0 . Didefinisikan himpunan aS := {as : sÎS}, maka berlaku inf (aS ) = a inf (S )

Bukti. Tulis u = inf aS dan v = inf S . Akan dibuktikan bahwa u = av . Karena u = inf aS , maka u £ as , untuk setiap sÎS . Karena v = inf S , maka v £ s untuk setiap sÎS . Akibatnya av £ as untuk setiap sÎS . Berarti av merupakan batas bawah aS. Karena u batas bawah terbesar aS, maka av £ u .

Karena u £ as untuk setiap sÎS , maka diperoleh  untuk setiap sÎS (sebab a > 0 ). Karena v = inf S , maka  yang berakibat u £ av . Di lain pihak diketahui av £ u . Akibatnya u = av . Jadi, terbukti bahwa inf (aS ) = a inf (S ).

c.       Jika A dan B subset tak kosong ℝ dan memenuhi a £ b untuk semua aÎ A dan bÎB , maka

sup A £ inf B .

Bukti. Diambil sebarang bÎB , maka a £ b untuk semua aÎ A . Artinya bahwa b merupakan batas atas A, sehingga sup A £ b . Selanjutnya, karena berlaku untuk semua bÎB , maka sup A merupakan batas bawah B. Akibatnya diperoleh bahwa sup A £ inf B,

Sifat Archimedes

Berikut ini diberikan salah satu sifat yang mengaitkan hubungan antara bilangan real dan bilangan asli. Sifat ini menyatakan bahwa apabila diberikan sebarang bilangan real x, maka selalu dapat ditemukan suatu bilangan asli n yang lebih besar dari x.

2.4.7. Sifat Archimedes. Jika xÎℝ, maka terdapat nÎℕ sedemikian hingga x < n .

Bukti. Ambil sebarang xÎℝ. Andaikan tidak ada nÎℕ sedemikian hingga x < n , maka n £ x , untuk setiap nÎℕ. Dengan kata lain, x merupakan batas atas ℕ . Jadi, ℕ Ì ℝ , ℕ ¹ Æ , dan ℕ terbatas ke atas. Menurut aksioma supremum, maka supℕ ada, tulis u = supℕ .

Karena u -1< u , maka terdapat mÎℕ dengan sifat u -1< m . Akibatnya u < m+1 dengan m+1Îℕ. Timbul kontradiksi dengan u = supℕ . Berarti u batas atas ℕ , yaitu ada m+1Îℕ sehingga u < m+1 (u bukan batas atas ℕ ).  Jadi, pengandaian salah, yang benar adalah ada nÎℕ sedemikian hingga x < n .

2.4.8        Akibat Jika , maka inf S = 0

Bukti. Karena S ¹ Æ terbatas ke bawah oleh 0, maka S mempunyau infimum, tulis w:= inf S . Jelas bahwa w ³ 0 . Untuk sebarang e > 0 , menggunakan Sifat Archimedes, terdapat nÎℕ sedemikian hingga  akibatnya oleh karena itu diperoleh bahwa

Akan tetapi karena e > 0 sebarang, maka berdasarkan Teorema 1.1.10 berakibat bahwa w = 0. Terbukti bahwa inf S = 0 .

·         Akibat. Jika t > 0 , maka terdapat n_t Îℕ sedemikian hingga

Bukti. Karena inf  dan t > 0 , maka t bukan batas bawah himpunan . Akibatnya terdapat n_t Îℕ sedemikian hingga

·         Akibat Jika y > 0, maka terdapat n_y Îℕ sedemikian hingga n_y-1< y < n_y .

Bukti. Sifat Archimedes menjamin bahwa subset E_y := dari ℕ tidak kosong. Menggunakan Sifat Urutan, E_y mempunyai elemen yang paling kecil, yang dinotasikan dengan n_y . Oleh karena itu, n_y -1 bukan elemen E_y . Akibatnya diperoleh bahwa n_y-1<y<n_y .

Eksistensi Bilangan Real dan Densitas Bilangan Rasional di ℝ

Salah satu penggunaan Sifat Supremum adalah dapat digunakan untuk memberikan jaminan eksistensi bilangan-bilangan real. Berikut ini akan ditunjukkan bahwa ada bilangan real positif x sedemikian hingga = 2 .

Teorema 2.4.9. Ada bilangan real positif x sedemikian hingga = 2

Bukti. Dibentuk himpunan  Jelas bahwa S ¹ Æ sebab 0ÎS dan 1ÎS . S terbatas ke atas dengan salah satu batas atasnya adalah 2. Jika t ³ 2 , maka ³ 4 . Jadi, t = 2ÏS . Menggunakan Aksioma Supremum, S Ì ℝ , S ¹ Æ, dan S terbatas ke atas, maka S mempunyai supremum. Namakan x = sup S , dengan xÎℝ. Akan dibuktikan bahwa   = 2 . Andaikan ¹ 2 , maka < 2 atau > 2 .

Kemungkinan I: Untuk < 2 .

Karena

Karena 2-x²> 0 dan 2x +1 > 0 , maka Menurut akibat Sifat Archimedes,

dapat ditemukan nÎℕ sehingga

Akibatnya

Dan

Diperoleh bahwa  yang berarti bahwa x+   . Kontradiksi dengan x= sup S. oleh karena itu tidak mungkin

Kemungkinan II: > 2 .

Karena > 2 , maka 2 > 0 . Perhatikan bahwa

Karena -2 > 0 dan 2x > 0 , maka dipilih mÎℕ sedemikian hingga

Akibatnya

Diperoleh bahwa x –   Bukan elemen S. yaitu  kontradiksi dengan x = sup S. oleh karena itu tdak mngkin . Jadi, pengandaiannya salah, yang benar adalah = 2.

2.4.10 Teorema Densitas  Jika x, yÎℝ dengan x < y , maka ada bilangan rasional qÎℚ sedemikian hingga x < q < y .

Bukti. Dengan tidak mengurangi keumuman (without loss of generality), diambil x > 0 . Karena x < y , maka y > 0 dan y -x > 0 . Akibatnya  sehingga dapat dipilih nÎℕ sedemikian hingga

 Untuk n di di atas, berlaku ny-nx >1, yaitu nx +1< ny . Karena nx > 0 , maka dapat dipilih mÎℕ sehingga

m-1£ nx < m

Bilangan m di atas juga memenuhi m < ny , sebab dari m−1£ nx diperoleh m £ nx +1< ny . Jadi  nx < m < ny .

akibatnya untuk  mempunyai sifat lebih kecil .jadi terdapat bilangan rasional dengan sifat x < q < y . Berikut ini diberikan akibat dari Teorema Densitas, yaitu di antara dua bilangan real pasti dapat ditemukan bilangan irrasional

2.4.11.corollary  Jika x, yÎℝ dengan x < y , maka ada bilangan irrasional r sedemikian hingga x < r < y .

Bukti. Menggunakan Teorema Densitas, ada bilangan real   dan  dengan sifat ada bilangan rasional q dengan sifat   , akibatnya x q  dan  merupakan blangan irasional

BAB III

PENUTUP

A.    Kesimpulan

Sifat Archimedes. Jika xℝ, maka terdapat nℕ sedemikian hingga x n .

Bukti. Ambil sebarang xℝ. Andaikan tidak ada nℕ sedemikian hingga x n , maka n x , untuk setiap nℕ. Dengan kata lain, x merupakan batas atas ℕ . Jadi, ℕ ℝ , ℕ , dan ℕ terbatas ke atas. Menurut aksioma supremum, maka supℕ ada, tulis u supℕ .

Karena u 1u , maka terdapat mℕ dengan sifat u 1m . Akibatnya u m1 dengan m1ℕ. Timbul kontradiksi dengan u supℕ . Berarti u batas atas ℕ , yaitu ada m1ℕ sehingga u m1 (u bukan batas atas ℕ ).  Jadi, pengandaian salah, yang benar adalah ada nℕ sedemikian hingga x n .

Akibat 1.4.5. Jika , maka inf S = 0

Bukti. Karena S terbatas ke bawah oleh 0, maka S mempunyau infimum, tulis w:inf S . Jelas bahwa w 0 . Untuk sebarang 0 , menggunakan Sifat Archimedes, terdapat nℕ sedemikian hingga  akibatnya oleh karena itu diperoleh bahwa

Akan tetapi karena 0 sebarang, maka berdasarkan Teorema 1.1.10 berakibat bahwa w 0. Terbukti bahwa inf S 0 .

Akibat 1.4.6. Jika t 0 , maka terdapat n_t ℕ sedemikian hingga

Bukti. Karena inf  dan t 0 , maka t bukan batas bawah himpunan . Akibatnya terdapat n_t ℕ sedemikian hingga

Akibat 1.4.7. Jika y 0, maka terdapat n_y ℕ sedemikian hingga n_y-1< y n_y .

Bukti. Sifat Archimedes menjamin bahwa subset E_y := dari ℕ tidak kosong. Menggunakan Sifat Urutan, E_y mempunyai elemen yang paling kecil, yang dinotasikan dengan n_y . Oleh karena itu, n_y -1 bukan elemen E_y . Akibatnya diperoleh bahwa n_y-1<y<n_y

A.    Saran

Sehubungan dengan hasil penulisan makalah ini, penulis menyarankan kepada para pembaca agar diadakan pengkajian lanjutan yang berjudul sama dengan makalah ini, agar ditemukan pengertian dari hakekat belajar dan pembelajaran yang lebih baik.

DAFTAR PUSTAKA

Buku Panduan Analisa Real.

http://itaberbagiilmu.blogspot.com/2011/06/analisis-real-ii.html

http://analisa real,pdf adobe reader